暗号市場における相関関係：なぜ傾きが重要なのか

基礎知識：相関について知っておくべきこと

コアとなる相関係数は、2つの資産間の関係性を-1から1までの単一の値に凝縮した指標です。これは、2つの価格変動が一緒に動く傾向があるか、逆方向に動くかのスナップショットと考えてください。値が1に近い場合、同じ方向に上昇・下降しやすいことを示し、-1に近い場合は逆方向に動くことを示します。0は意味のある線形パターンがないことを示します。

ポートフォリオマネージャーやトレーダーにとって、この単一の数字は複雑な散布図のページを置き換え、市場、時間軸、資産クラスを超えて即座に比較可能なものとなります。

正の傾斜と負の傾斜：動きの二つの側面

2つの変数が正の傾斜を示すとき、それらは同じ方向に動きます。ビットコインとイーサリアムは、強気市場の間に正の相関を示すことが多く、BTCが上昇するとアルトコインも追随します。相関係数が+0.7以上に近い場合、この同期した上昇(または下降)の動きが示されます。

逆に、負の傾斜は逆方向の動きを示します。伝統的な株式と国債は歴史的に負の相関を示し、株価が下落するときに債券が価値を上げることがあります。係数が-0.6以下に近い場合、この保護的なダイナミクスを捉えています。ポートフォリオ内の資産の中で負の傾斜関係を持つ資産を理解することは、真の分散投資にとって重要です。

なぜこれがあなたのポートフォリオにとって重要なのか

ポートフォリオ構築は、連動しない資産を見つけることにかかっています。保有資産の相関が低いまたは負の場合、ポートフォリオ全体のボラティリティは低下します。あるポジションの損失は、他の場所での利益によって相殺される可能性があります。定量的チームは、これらの非相関ペアを見つけるために膨大な努力を費やします。なぜなら、それが現代リスク管理の仕組みだからです。

しかし、相関は欺瞞的です。多くのトレーダーは、市場の崩壊時に依存していた負の傾斜関係が消えてしまうことを発見します。2008年の金融危機の際には、ほとんどの資産クラスで相関がほぼゼロだったのに、突然+0.9に急上昇し、分散投資の効果が一気に失われました。

相関の三つの主なタイプ

ピアソン相関は、2つの連続変数間の線形関係を測るための標準的な方法です。点が上昇または下降の傾きに密集しているかどうかを直接測定します。

スピアマン順位相関は、線形性を仮定しません。代わりに、単調関係を捉えます。つまり、一方の変数が一貫して増加するとき、もう一方も増加している(たとえ直線的でなくても)、それを検出します。これは、実世界のデータがほとんど線形に振る舞わない場合に有用です。

ケンドールのτは、もう一つの順位に基づくアプローチであり、少数のサンプルや重複値を扱う際により堅牢です。分野によって好まれる指標は異なりますが、適切なものを選ぶにはデータの形状に依存します。

数学の解説

ピアソン係数は、共分散を2つの標準偏差の積で割ったものです。

相関 = 共分散(X, Y) / (標準偏差(X) × 標準偏差(Y))

この正規化により、結果は-1から1の範囲に収まり、異なるスケールの変数間でも比較可能となります。

例を挙げると、Xが2, 4, 6, 8と増加し、Yが1, 3, 5, 7と同じように動く場合、偏差は完全に一致します。共分散は大きく正の値になり、標準偏差の積も大きいため、rは+1に非常に近くなり、完璧な正の傾斜を示します。

実務では、ソフトウェアがこれらの計算を処理しますが、仕組みを理解しておくことで誤解を防げます。

数値の解釈

大まかな閾値はありますが、分野によって異なります：

• 0.0〜0.2： ほとんど関係なし
• 0.2〜0.5： 弱い関係
• 0.5〜0.8： 中程度から強い
• 0.8〜1.0： 非常に強い関係

負の値も同様に作用し、逆の関係を示します。例えば、-0.75はかなり強い逆の動きを示し、一方が上昇するともう一方は下降しやすいことを意味します。

文脈がすべてです。物理学では、相関が±1に近いことが重要とされますが、社会科学では人間の行動にノイズが伴うため、より小さな値も意味があるとされます。暗号通貨市場では、0.4未満の相関もヘッジ目的で重要とみなされることがあります。

サンプルサイズの落とし穴

たった10データポイントから計算された相関は、非常に誤解を招きやすいです。同じ数値でも、サンプルサイズによって統計的な意味合いは大きく異なります。1,000の観測値があれば、0.25の相関でも統計的に有意となることがありますが、10の観測値では0.8以上が必要になることもあります。

常にp値や信頼区間と併用し、特にデータが限られている場合は注意してください。

相関の短所

因果関係の誤解： 2つの変数が一緒に動いているからといって、一方がもう一方を引き起こしているわけではありません。第三の要因が両方に影響している可能性もあります。例えば、ビットコインと金は、根本的にリンクしているわけではなく、インフレ期待が両者に影響している場合があります。

非線形の盲点： ピアソンは線形関係のみを捉えます。曲線や段階的な関係は、相関がほぼゼロでも、実際には強い依存関係がある場合があります。スピアマンなどの順位ベースの手法は、これを明らかにします。

外れ値の影響： 一つの極端な価格急騰や操作された取引が、相関を大きく歪めることがあります。フラッシュクラッシュや操作的な取引は、予期せぬ相関の変動を引き起こします。

分布の仮定： 正規分布でないデータやカテゴリカルデータは、ピアソンの仮定に違反します。その場合は順位に基づく測定やクロス集計表の方が適しています。

実際の投資応用例

暗号資産と伝統的資産： ビットコインと米国債の利回りは、時間とともに変動します。リスクオフ時には負の相関を示し、通常時にはほぼゼロに近づきます。この関係の変化を監視することで、ヘッジ比率を調整できます。

石油生産者と原油： エネルギーセクターの企業は原油価格と自然に相関していると思われがちですが、実際の分析では中程度で不安定な相関しか見られません。これは、直感的な関係が必ずしも当てはまらないことを示しています。

ペアトレーディング： 定量的戦略は、一時的な相関の崩れを利用します。歴史的に相関していた資産が乖離したときに、平均回帰を期待して利益を狙います。

ファクタ投資： モメンタム、バリュー、ボラティリティなどのファクター間の相関も変動します。昨日までの相関に基づいてポートフォリオを構築していると、関係性の変化により集中リスクが生じる可能性があります。

安定性の問題

相関は固定されたものではありません。市場の局面は変わり、新しい情報が関係性を再形成し、危機は過去のパターンを破壊します。5年間の相関が0.3でも、次の月のヘッジには役立たないことがあります。

解決策は、ローリングウィンドウの相関を計算することです。直近60日、90日、または252日の期間で再計算し、トレンドを把握します。もし相関が-0.5から+0.1に向かって動いているなら、ヘッジは弱まっているのでリバランスの時です。

相関とR二乗の違い

r (相関係数)は、線形関係の強さと方向を示します。傾きが上向きか下向きか、どれだけ密接に関係しているかを示します。

R² (決定係数)は、Yの分散の何パーセントがXによって説明されるかを示します。例えば、r=0.7なら、R²=0.49となり、Yの動きの49%がXから予測できることを意味します。投資家は、回帰モデルの予測力を直接示すため、R²に注目することが多いです。

相関を信頼して使う前のベストプラクティス

1. まず可視化： 散布図を作成し、線形(または単調)パターンがあるか目視で確認しましょう。

2. 外れ値の確認： 極端な点を特定し、それが結果を歪めていないか判断します。除外、調整、またはロバストな順位法を使うことを検討します。

3. データ型の確認： 変数が連続値(（ピアソン用）または適切に順位付け)（スピアマン/Kendall用）されているか確認します。

4. 有意性の検証： p値を計算し、特にサンプルが少ない場合は注意します。高い相関でも、ノイズの可能性があります。

5. 変化を監視： ローリングウィンドウを使って、局面の変化や相関の不安定さを検知します。戦略の再調整が必要なサインです。

最終的なポイント

相関係数は、2つの変数の動きがどのように連動しているかを定量化する、見た目以上に単純なツールです。ポートフォリオの分散化、ヘッジの特定、ペアトレードの構築に役立ちます。

しかし、相関には限界があります。線形または単調なパターンしか捉えられず、因果関係には盲目であり、サンプルや外れ値に弱く、時間とともに変動します。これを出発点として、散布図やスピアマン、ケンドールなどの代替指標、統計的有意性の検証、ローリングウィンドウによる監視と併用し、単一の誤解を招く数字に頼らず、現実に根ざした意思決定を行いましょう。